分析：①因為函數f（x）是定義在R上的偶函數，所以
f(-)=f()；又因為對于任意的x等式f（x+2）=f（x）恒成立，所以
f（
）可化為f（
），因為
與都在[0，1]上，所以可以比較
f()與f()大小，通過計算可得
f()＞f()．故可知①正確．
②當x∈[-1，0]時，則-x∈[0，1]，于是f（x）=f（-x）=（-x）
3-4（-x）+3=-x
3+4x+3≠x
3+4x+3．故可知②不正確．
③因為f
′（x）=3x
2-4，所以當x∈[0，1]時，可知f（x）在x∈[0，1]上單調遞減．又因為f（0）=3，f（1）=0，所以
f（x）=0在x∈[0，1]時只有一個根1；同時，因為f（x）是偶函數，所以f（x）在x∈[-1，0]上亦有且只有一個根-1，又因為對于任意的x等式f（x+2）=f（x）恒成立，所以有f（1）=f（3）=f（5）=…
故f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點的橫坐標為：1，3，5，…．從而可判斷出③正確．
④由③可知f（x）在x∈[0，1]上單調遞減，且0≤f（x）≤3，則函數y=f（x）與y=|x|的圖象在x∈[0，1]上有且只有有一個交點，即方程f（x）=|x|在x∈[0，1]上有且只有一個根，設為x
1．由于函數f（x）是定義在R上的偶函數，所以f（-x
1）=f（x
1）=|-x
1|，即-x
1也是方程f（x）=|x|的一個根，這就是說：方程f（x）=|x|在x∈[-1，1]上有且只有兩個根x
1，-x
1．同理，方程f（x）=|x|分別在x∈[1，2]、[2，3]上各有一個根，設為x
2，x
3；易知，方程f（x）=|x|分別在x∈[-2，-1]、[-3，-2]上亦各有一個根，且為-x
2，-x
3．在x∈（3，4]上，0＜f（x）≤3，而3＜|x|，故方程f（x）=|x|無根．綜上可知：方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上共有6個根．因此④不正確．
解答：解：①∵函數f（x）是定義在R上的偶函數，∴
f(-)=f()=
()3-4×+3=
；
又∵對于任意的x等式f（x+2）=f（x）恒成立，
∴f（
）=f（6+
）=f（
）=f（2-
）=f（
-）=f（
）=
()3-4×+3=
+1＞f（
-）．
故可知①正確．
②當x∈[-1，0]時，則-x∈[0，1]，于是f（x）=f（-x）=（-x）
3-4（-x）+3=-x
3+4x+3≠x
3+4x+3．
故可知②不正確．
③因為f
′（x）=3x
2-4，所以當x∈[0，1]時，恒有f
′（x）＜0成立，故f（x）在x∈[0，1]時單調遞減．
又因為f（0）=3，f（1）=0，所以f（x）=0在x∈[0，1]時有且只有一個根1；同理f（x）=0在x∈[-1，0]上有且只有一個根-1．
又因為對于任意的x等式f（x+2）=f（x）恒成立，所以有f（-1）=f（1）=f（3）=f（5）=…；
故f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點的橫坐標為：1，3，5，…．是由小到大構成一個無窮等差數列{2n-1}．
故③正確．
④由③可知f（x）在x∈[0，1]時單調遞減，且0≤f（x）≤3，
則函數y=f（x）與y=|x|的圖象在x∈[0，1]上有且只有有一個交點，即方程f（x）=|x|在x∈[0，1]上有且只有一個根，設為x
1．
由于函數f（x）是定義在R上的偶函數，所以f（-x
1）=f（x
1）=|-x
1|，即-x
1也是方程f（x）=|x|的一個根．
同理，方程f（x）=|x|分別在x∈[1，2]、[2，3]上各有一個根，設為x
2，x
3；易知，方程f（x）=|x|分別在x∈[-2，-1]、[-3，-2]上亦各有一個根，且為-x
2，-x
3．
在x∈（3，4]上，0＜f（x）≤3，而3＜|x|，故方程f（x）=|x|無根．
綜上可知：方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上共有6個根．因此④不正確．
綜上可知①、③正確．
點評：此題綜合考查了函數的單調性、奇偶性、周期性及方程的根，等差數列等知識；還考查了數形結合的思想方法．
