Question

【題目】某大學藝術專業400名學生參加某次測評，根據男女學生人數比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數，將數據分成7組：[20，30），[30，40），…[80，90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：

（Ⅰ）從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數小于70的概率；
（Ⅱ）已知樣本中分數小于40的學生有5人，試估計總體中分數在區間[40，50）內的人數；
（Ⅲ）已知樣本中有一半男生的分數不小于70，且樣本中分數不小于70的男女生人數相等．試估計總體中男生和女生人數的比例．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖知：分數小于70的頻率為：1﹣（0.04+0.02）×10=0.4
故從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數小于70的概率為0.4；
（Ⅱ）已知樣本中分數小于40的學生有5人，
故樣本中分數小于40的頻率為：0.05，
則分數在區間[40，50）內的頻率為：1﹣（0.04+0.02+0.02+0.01）×10﹣0.05=0.05，
估計總體中分數在區間[40，50）內的人數為400×0.05=20人，
（Ⅲ）樣本中分數不小于70的頻率為：0.6，
由于樣本中分數不小于70的男女生人數相等．
故分數不小于70的男生的頻率為：0.3，
由樣本中有一半男生的分數不小于70，
故男生的頻率為：0.6，
即女生的頻率為：0.4，
即總體中男生和女生人數的比例約為：3：2．
【解析】（Ⅰ）根據頻率=組距×高，可得分數小于70的概率為：1﹣（0.04+0.02）×10；
（Ⅱ）先計算樣本中分數小于40的頻率，進而計算分數在區間[40，50）內的頻率，可估計總體中分數在區間[40，50）內的人數；
（Ⅲ）已知樣本中有一半男生的分數不小于70，且樣本中分數不小于70的男女生人數相等．進而得到答案．
【考點精析】通過靈活運用頻率分布直方圖和用樣本的頻率分布估計總體分布，掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息；樣本數據的頻率分布表和頻率分布直方圖，是通過各小組數據在樣本容量中所占比例大小來表示數據的分布規律，它可以讓我們更清楚的看到整個樣本數據的頻率分布情況，并由此估計總體的分布情況即可以解答此題．