Question

【題目】已知正項等比數列{an}滿足a1＝2，2a2＝a4﹣a3，數列{bn}滿足bn＝1+2log2an．

（1）求數列{an}，{bn}的通項公式；

（2）令cn＝anbn，求數列{cn}的前n項和Sn；

（3）若λ＞0，且對所有的正整數n都有2λ2﹣kλ+2成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）an＝2n；bn＝1+2n；（2）Sn＝2+（2n﹣1）2n+1；（3）k＜2

【解析】

（1）利用等比數列通項計算；

（2）cn＝（2n+1）2n，利用錯位相減法計算；

（3）先求出的最大值，2λ2﹣kλ+2轉化為2λ2﹣kλ+2對λ＞0恒成立，即k＜2λ對λ＞0恒成立.

（1）正項等比數列{an}的公比設為q，q＞0，

a1＝2，2a2＝a4﹣a3，可得4q＝2q3﹣2q2，解得q＝2（﹣1舍去），

可得an＝2n；

bn＝1+2log2an＝1+2log22n＝1+2n；

（2）cn＝anbn＝（2n+1）2n，

前n項和Sn＝32+54+78+…+（2n+1）2n，

2Sn＝34+58+716+…+（2n+1）2n+1，

兩式相減可得﹣Sn＝6+2（4+8+…+2n）﹣（2n+1）2n+1

＝6+2（2n+1）2n+1，

化簡可得Sn＝2+（2n﹣1）2n+1；

（3）若λ＞0，且對所有的正整數n都有2λ2﹣kλ+2成立，

即為2λ2﹣kλ+2的最大值，

由0，

可得{}遞減，可得n＝1時，取得最大值，

可得2λ2﹣kλ+2，即為k＜2λ的最小值，

可得2λ22，當且僅當λ時取得最小值2，

則k＜2．