Question

【題目】已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，焦距為2，且經(jīng)過點(diǎn)，斜率為的直線經(jīng)過點(diǎn)，與橢圓交于，兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）在軸上是否存在點(diǎn)，使得以，為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出的取值范圍，如果不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；實(shí)數(shù)的取值范圍是

【解析】

（1）根據(jù)橢圓定義計(jì)算，再根據(jù)，，的關(guān)系計(jì)算即可得出橢圓方程；（2）設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立方程組，求出的范圍，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出的中點(diǎn)坐標(biāo)，求出的中垂線與軸的交點(diǎn)橫，得出關(guān)于的函數(shù)，利用基本不等式得出的范圍．

（1）由題意可知，，．

又，

，，

橢圓的方程為：．

（2）若存在點(diǎn)，使得以，為鄰邊的平行四邊形是菱形，

則為線段的中垂線與軸的交點(diǎn)．

設(shè)直線的方程為：，，，，，

聯(lián)立方程組，消元得：，

△，又，故．

由根與系數(shù)的關(guān)系可得，設(shè)的中點(diǎn)為，，

則，，

線段的中垂線方程為：，

令可得，即．

，故，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，

，且．

的取值范圍是，．