Question

已知函數y=f（x）是定義在R上的減函數，函數y=f（x-1）的圖象關于點 （1，0）對稱．若對任意的x，y∈R，不等式 f（x²+y-1）+f（-x²+2x-1）≤0恒成立，4x²+y²的最小值是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：根據函數y=f（x-1）的圖象關于點 （1，0）對稱，可得函數是奇函數，利用函數y=f（x）是定義在R上的減函數，可得y≥-2x+2，設t=4x²+y²，利用換元法，即可求4x²+y²的最小值．

解答：解：∵函數y=f（x-1）的圖象關于點 （1，0）對稱，
∴函數y=f（x）的圖象關于點 （0，0）對稱，即函數是奇函數
∴不等式f（x²+y-1）+f（-x²+2x-1）≤0等價于不等式f（x²+y-1）≤f（x²-2x+1）
∵函數y=f（x）是定義在R上的減函數，
∴x²+y-1≥x²-2x+1，∴y≥-2x+2
設t=4x²+y²，則x=

t cosα

2

，y=

t

sinα，∴

t

sinα≥-

t

cosα+2
∴

2t

sin（α+

π

4

）≥2
∴

2t

≥2，∴t≥2
即4x²+y²的最小值是2
故選C．

點評：本題考查函數的奇偶性，考查函數的最值，考查解不等式，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．