Question

已知動點P與雙曲線的兩個焦點F₁、F₂的距離之和為6．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）•，求△PF₁F₂的面積；
（3）若已知D（0，3），M、N在曲線C上，且，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由雙曲線的兩個焦點：F₁、F₂．
可知F₁（-√5，0），F₂（√5，0）
∵動點P到兩個焦點F₁，F₂的距離之和為定值6且6＞2
∴動點P的運動軌跡是以F₁、F₂為焦點的橢圓
∴c=，a=3，b²=a²-c²=4．
∴動點P的軌跡C的方程：．
（2）設P（x，y），則=（，-y）；=（-x，-y）；
∴=x²-5+y²=3．
∵點P的軌跡C的方程：．
∴?y²=?．
∴S_△=|F₁F₂|•|y|=×2×=2．
（3）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
把直線MN的方程為y=kx+3代入 消去x整理得
：（4+9k²）x²+54kx+45=0
∵△=54×54k²-4×45（4+9k²）≥0
∴k²≥…①
∴x₁+x₂=…②，
x₁•x₂=…③
∵，
∴x₁=λx₂…④
由②③④并消去x₁與x₂…并整理得：=
再由①可得4≤＜
解得≤t≤5
當k不存在時此時MN為短軸容易得t=或5
綜上可知λ取值范圍為[，5]
分析：（1）先求出焦點坐標，根據動點P到兩個焦點F₁，F₂的距離之和為定值6且6＞2，可得動點P的運動軌跡是以F₁、F₂為焦點的橢圓；再求出對應的a，b，c即可找到動點P的軌跡C的方程；
（2）先設出點P的坐標，代入•，得到關于點P的坐標的一個方程；再結合點P的軌跡C的方程可求出點P的縱坐標的絕對值；最后代入三角形的面積計算公式即可；
（3）設出直線MN的方程以及點M，N的坐標，聯立直線方程與曲線C的對應方程，根據兩者有公共點，可以求出k的取值范圍以及點M，N的坐標與k的關系；再結合，求出點M，N的坐標與λ的之間的關系；最后通過消去M，N的坐標來求實數λ的取值范圍．
點評：本題綜合考查了直線與橢圓的位置關系以及向量共線問題．直線與圓錐曲線的位置關系，由于集中交匯了直線，圓錐曲線兩章的知識內容，綜合性強，能力要求高，還涉及到函數，方程，不等式，平面幾何等許多知識，可以有效的考查函數與方程的思想，數形結合的思想，分類討論的思想和轉化化歸的思想，因此，這一部分內容也成了高考的熱點和重點，一般是以壓軸題的形式出現．