Question

已知a、b為異面直線，則：

(1)經過直線a，存在唯一平面α，使b∥α；

(2)經過直線a，若存在平面α，使b⊥a，則α唯一；

(3）經過直線a、b外任意一點，存在平面α，使a∥α且b∥α.

上述命題中，真命題的個數為(    )

A.0個          B.1個            C.2個              D．3個

Answer 1

C 

解析：本題考查空間想象能力和抽象的理論推理能力；(1)正確；可反證假設經過直線a可以作兩個平面α,β，使得b∥α，b∥β則經過直線b作一平面交平面α、β于c、d，由線面平行的性質定理可知b∥c∥d(且三線在同一平面內)，又由于直線a與直線b為異面直線，故直線c、d必與直線a相交，設直線a∩c=A，a∩d=B，則直線a在由三線b，c，d所確定的平面內，這與a，b兩異面相矛盾，故假設錯誤，原命題正確；對選項(2)當且僅當兩異面直線互相垂直時，這樣的平面存在且唯一，這是因為假設符合條件的平面有兩個都垂直于直線b，則必有兩平面平行，這與兩平面都經過直線a相矛盾，故若存在則有且只有一個；對選項(3)錯誤，可舉反例如當空間一點A與異面直線中的直線a所在的平面恰與直線b平行時，此時不存在平面α與兩異面直線平行．