Question

【題目】如圖，拋物線的焦點為F（1，0），E是拋物線的準線與x軸的交點，直線AB經過焦點F且與拋物線交于A，B兩點，直線AE，BE分別交y軸于M，N兩點，記，的面積分別為．

（1）求拋物線C的標準方程；

（2）是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由；

（3）求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）是定值，4；（3）5.

【解析】

（1）由焦點坐標得焦參數后可得拋物線方程；

（2）由于直線AB的斜率不可能為0，故可設，代入拋物線方程整理后得一元二次方程，設，，則，．由計算和，并計算可得定值；

（3）在（2）基礎上，由點坐標求出點坐標，同理得坐標，得（仍然代入），這樣可用表示，換元設（），利用函數的單調性可得最小值．

解：（1）∵拋物線的焦點為，∴，

∴拋物線方程為；

（2）由已知可得，，

由于直線AB的斜率不可能為0，故可設，

聯立，消去x并整理得：，

設，，則，．

所以，，

而，

所以（定值）；

（3）直線，可得，同理，

∴，

即，

∴，

令則，

由對勾函數的性質知在上是增函數，在上是增函數，所以時，，此時．

故的最小值是5，此時直線軸．