Question

【題目】如圖，已知拋物線 ，直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，且當(dāng)傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)時(shí)，有.

（1）求拋物線的方程；

（2）已知圓，是否存在傾斜角不為的直線，使得線段被圓截成三等分？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（I）聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系和拋物線的性質(zhì)列方程解出p；
（II）設(shè)直線l方程為，與拋物線方程聯(lián)立，求出AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用垂徑定理列方程得出m，b的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算|AB|，|CD|，根據(jù)|AB|=3|CD|列方程求出m得出直線l的方程．

試題解析：

（1）當(dāng)傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)時(shí)，直線的方程為，

∵聯(lián)立方程組，即，

∴，即，∴拋物線的方程是；

（2）假設(shè)存在直線，使得線段被圓截成三等分，令直線交圓為，設(shè)直線的方程為， ，由題意知：線段與線段的中點(diǎn)重合且有，聯(lián)立方程組，即，

∴， ， ，

∴線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，即線段的中點(diǎn)為，

∴，即，

又∵，

，

∴，即，∴， ，

故直線的方程為.