Question

已知函數

（1）當時，討論函數的單調性：

（2）若函數的圖像上存在不同兩點，設線段的中點為，使得在點處的切線與直線平行或重合，則說函數是“中值平衡函數”，切線叫做函數的“中值平衡切線”。試判斷函數是否是“中值平衡函數”？若是，判斷函數的“中值平衡切線”的條數；若不是，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）函數的遞增區間是,遞減區間是；（2）當時，函數是“中值平衡函數”且函數的“中值平衡切線”有無數條，當時，函數不是“中值平衡函數”.

【解析】

試題分析：(1)對進行討論，求導數，令導數大于0或小于0，求單調遞增或遞減區間；（2）先假設它是“中值平衡函數”， 設出兩點，討論和的情況，看是否符合題意.

試題解析：（1）              1分

當即時，，函數在定義域上是增函數；  2分

當即時,由得到或，  4分

所以：當時，函數的遞增區間是和，遞減區間是；                            5分

當即時，由得到：，

所以:當時,函數的遞增區間是,遞減區間是；  7分

（2）若函數是“中值平衡函數”，則存在（）使得

即，

即，（*）                     4分

當時，（*）對任意的都成立，所以函數是“中值平衡函數”，且函數的“中值平衡切線”有無數條；                    8分

當時，設，則方程在區間上有解，      10分

記函數，則，       12分

所以當時，，即方程在區間上無解，

即函數不是“中值平衡函數”.                     14分

考點：1.求切線的斜率；2.用導數求函數的單調性；3.分類討論思想.