Question

【題目】已知動點在軸上方，且到定點距離比到軸的距離大.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）過點的直線與曲線交于，兩點，點，分別異于原點，在曲線的，兩點處的切線分別為，，且與交于點，求證：在定直線上.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）設，由到定點距離比到軸的距離大，可得，化簡可得點的軌跡的方程；

（2）由題意可知，直線的斜率存在且不為，設直線的方程為與聯立，設，，可得，的值，又，所以，可得切線的方程，同理可得切線的方程，求出交點坐標，可得其在定直線上.

解：（1）設，

則有，化簡得，

故軌跡的方程為.

（2）由題意可知，直線的斜率存在且不為，

設直線的方程為與

聯立得，

設，，

則，，

又，所以，

所以切線的方程為，

即，

同理切線的方程為

聯立得，.

兩式消去得，

當時，，，

所以交點的軌跡為直線，去掉點.

因而交點在定直線上.