Question

已知△ABC中，BC=4，2sinC=2sinB+sinA.求頂點A的軌跡方程.

Answer 1

頂點A的軌跡方程是x²-=1(x＞1).

如圖所示,

以直線BC為x軸，線段BC的中垂線為y軸建立直角坐標系.
∵|BC|=4，∴B（-2，0），C（2，0），
由2sinC=2sinB+sinA，利用正弦定理可得
2|AB|=2|AC|+|BC|，
即|AB|-|AC|=|BC|=2＜4，
即點A到點B的距離與到點C的距離之差是常數2.
由雙曲線的定義可知，點A的軌跡是以B、C為焦點的雙曲線的右支（除頂點）.
其中，2a=2,∴a=1.2c=4.∴c=2.從而b²=c²-a²=3.
∴頂點A的軌跡方程是x²-=1(x＞1).