Question

把函數f(x)=sin²x-2sinxcosx+3cos²x(x∈R)的圖象沿x軸向左平移m個單位(m＞0)所得函數的圖象關于直線x=π對稱.

(1)求m的最小值.

(2)證明：當x∈(π,π)時，經過函數y=f(x)的圖象上任意兩點的直線斜率為負數.

Answer 1

答案：(1)解：f(x)=cos2x-sin2x+2=cos(2x+)+2,將f(x)的圖象向左平移m個單位得函數g(x)=cos(2x+2m+)+2,其對稱軸x=π，

∴2×π+2m+=kπ(k∈Z).又m＞0，

∴m_min=.                                                                   

(2)證明：∵π＜x＜π,∴-4π＜2x+π，∴f(x)在(π,π)上為減函數.

設x₁,x₂∈(π,π),且x₁＜x₂,則f(x₁)＞f(x₂),

∴k=＜0(用導數方法證明也可).