Question

附加題：已知函數f(x)=sin2ωx+

3

cosωx•cos(

π

2

-ωx)-

1

2

，(其中ω＞0)，且函數y=f（x）的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為

π

2

．
（Ⅰ）求f(

π

6

)的值；
（Ⅱ）若函數f(kx+

π

12

)(k＞0)在區間[-

π

6

，

π

3

]上單調遞增，求實數k的取值范圍；
（III）是否存在實數m使方程3f²（x）-f（x）+m=0在(

π

12

，

π

3

]內僅有一解，若存在，求出實數m的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函數的恒等變換化簡函數f（x）的解析式為sin(2ωx-

π

6

)，由此根據它的周期求出ω的值，即可求得f(

π

6

)的值．
（Ⅱ）因為f(kx+

π

12

) = sin2kx，k＞0，則當-

π

6

≤x≤

π

3

時，-

kπ

3

≤2kx≤

2kπ

3

，根據題意得[-

kπ

3

，

2kπ

3

]⊆[-

π

2

，

π

2

]，故

- kπ 3 ≥- π 2 2kπ 3 ≤ π 2 k＞0

，有此解得實數k的取值范圍．
（III）問題轉化為探究是否存在實數m的值使方程3t²-t+m=0在（0，1]內僅有一根或兩個相等實根，即直線y=m與二次函數y=-3t²+t，t∈（0，1]的圖象有唯一公共點，由圖象可得實數m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=sin2ωx+

3

cosωx•cos(

π

2

-ωx)-

1

2

=

1-cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx-

1

2

 
=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx=sin(2ωx-

π

6

)．（2分）  根據題意，

T

2

=

π

2

，即T=π，所以

2π

2ω

=π，即ω=1．（4分）
從而f(x)=sin(2x-

π

6

)，故f(

π

6

)=sin(

2π

6

-

π

6

)=sin

π

6

=

1

2

．（6分）
（Ⅱ）因為f(kx+

π

12

)=sin[2(kx+

π

12

)-

π

6

]=sin2kx，k＞0，（8分）
則當-

π

6

≤x≤

π

3

時，-

kπ

3

≤2kx≤

2kπ

3

．（9分）
據題意，[-

kπ

3

，

2kπ

3

]⊆[-

π

2

，

π

2

]，所以

- kπ 3 ≥- π 2 2kπ 3 ≤ π 2 k＞0

，解得0＜k≤

3

4

．
故實數k的取值范圍是(0，

3

4

]．（12分）
（III）∵x∈(

π

12

，

π

3

]，0＜2x-

π

6

≤

π

2

，∴0＜f（x）≤1，設f（x）=t，
問題轉化為探究是否存在實數m的值使方程3t²-t+m=0在（0，1]內僅有一根或兩個相等實根．（14分）
又∵m=-3t2+t=-3(t2-

1

3

t)=-3(t-

1

6

)2+

1

12

，t∈(0，1]，（16分）
所以直線y=m與二次函數y=-3t²+t，t∈（0，1]的圖象有唯一公共點，由圖象可知，m=

1

12

或-2≤m≤0；（19分）
所以實數m的取值范圍為{

1

12

}∪[-2，0]．（20分）

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換，利用y=Asin（ωx+∅）的圖象特征性質的應用，二次函數的性質，體現了數形結合以及等價轉化的數學思想，屬于中檔題．