Question

已知函數f(x)=sin2ωx+

3

sinωx•sin(ωx+

π

2

)（ω＞0）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函數f（x）在區間[0，

2π

3

]上的取值范圍．
（Ⅲ）函數f（x）的圖象可由y=sinx的圖象經過怎樣的變化得到？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據解析式需要利用倍角公式和兩角和的正弦公式對解析式進行化簡，再由周期公式T=

2π

ω

求出ω的值；
（Ⅱ）根據（Ⅰ）求出的解析式，由x的范圍求出2x-

π

6

的范圍，根據正弦函數的性質求出函數的值域；
（Ⅲ）根據圖象的變換過程，先周期變換再相位變換，最后上下平移，注意左右平移的單位長度．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，f(x)=

1-cos2ωx

2

+

3

sinωx•cosωx
=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+

1

2

=sin(2ωx-

π

6

)+

1

2

（3分）
∵f（x）的最小正周期為π，且ω＞0
∴

2π

2ω

=π，∴ω=1（14分）
（Ⅱ）解：f(x)=sin(2x-

π

6

)+

1

2

∵x∈[0，

2π

3

]，∴2x∈[0，

4π

3

]，
∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

7π

6

]，∴sin(2x-

π

6

)∈[-

1

2

，1]
∴f(x)∈[0，

3

2

]（7分）
即f（x）在區間[0，

2π

3

]上的取值范圍是[0，

3

2

]．（8分）
（Ⅲ）解：把y=sinx的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的

1

2

倍（縱坐標不變），
再把所得函數的圖象向右平移

π

12

個單位，
再把所得函數的圖象向上平移

1

2

個單位，可得到f（x）的圖象．（12分）

點評：本題的考點是圖象的變換和解析式的求法，應先對解析式化簡再把條件代入，利用知識點有倍角公式和兩角和的正弦公式，圖象變換法則和正弦函數的性質，考查了整體思想．