Question

（附加題）
（Ⅰ）設非空集合S={x|m≤x≤l}滿足：當x∈S時有x²∈S，給出下列四個結論：
①若m=2，則l=4
②若m=-

1

2

，則

1

4

≤l≤1
③若l=

1

2

，則-

2

2

≤m≤0④若m=1，則S={1}，
其中正確的結論為

②③④

．
（Ⅱ）已知函數f(x)=x+

a

x

+b(x≠0)，其中a，b∈R．若對于任意的a∈[

1

2

，2]，f（x）≤10在x∈[

1

4

，1]上恒成立，則b的取值范圍為

（-∞，

7

4

]

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題中條件：“當x∈S時，有x²∈S”對三個命題一一進行驗證即可：對于①可舉反例；對于②可得

l≥ 1 4 l2≤l

；對于③若l=

1

2

，則

m2≥m m≤ 1 2 m2≤ 1 2

；對于④，有

l≥1 l2≤l

，最后解出不等式，根據解出的結果與四個命題的結論對照，即可得出正確結果有幾個．
（Ⅱ）把f（x）看作關于a的一次函數，根據一次函數的單調性可轉化為函數最值，再看作關于x的函數，利用導數判斷函數的單調性，由單調性再求出最值可求結果；

解答：解：（Ⅰ）由定義：設非空集合S={x|m≤x≤l}滿足：當x∈S時，有x²∈S知，
符合定義的參數m的值一定大于等于1或小于等于0，惟如此才能保證m∈S時，有m²∈S即m²≥m，
符合條件的l的值一定大于等于0，小于等于1，惟如此才能保證l∈S時，有l²∈S即l²≤l，對各個命題進行判斷：
對于①，若m=2，l=4，則S={x|2≤x≤4}，而4∈S，但4²∉S，矛盾，①錯誤；
對于②，若m=-

1

2

，則m²=

1

4

∈S，則

l≥ 1 4 l2≤l

，解之可得

1

4

≤l≤1，②正確；
對于③，若l=

1

2

，則

m2≥m m≤ 1 2 m2≤ 1 2

，解之可得-

2

2

≤m≤0，③正確；
對于④，若m=1，則m²=1∈S，故必有

l≥1 l2≤l

，解得l=1，故S={1}，④正確；
故答案為：②，③，④；
（Ⅱ）x+

a

x

+b可看作關于a的一次函數，當x∈[

1

4

，1]時該一次函數遞增，
則對任意a∈[

1

2

，2]，f（x）≤10恒成立等價于x+

2

x

+b≤10，
又x∈[

1

4

，1]時x+

2

x

+b≤10恒成立，則(x+

2

x

+b)max≤10，
令g（x）=x+

2

x

+b，當x∈[

1

4

，1]時，g′（x）=1-

2

x2

＜0，
所以g（x）遞減，故(x+

2

x

+b)max=

1

4

+

2

1 4

+b=

33

4

+b，
所以

33

4

+b≤10，解得b≤

7

4

，即b的取值范圍是(-∞，

7

4

]，
故答案為：(-∞，

7

4

]．

點評：本小題考查集合的運算及不等式和不等式組的解法．屬于創新題，解答的關鍵是對新定義的概念的正確理解，列出不等關系轉化為不等式問題解決．（Ⅱ）題中，對兩個參數恒成立問題，要逐個滿足，先保證對任意a恒成立，再保證對任意x恒成立，分別轉化為函數最值解決即可．