Question

已知向量

a

=(cos(x-

π

4

)，sin(x-

π

4

))，

b

=(cos(x+

π

4

)，-sin(x+

π

4

))，f(x)=

a

•

b

-k|

a

+

b

|，x∈[0，π]．
（1）若x=

7π

12

，求

a

•

b

及|

a

+

b

|；
（2）若k=1，當x為何值時，f（x）有最小值，最小值是多少？
（3）若f（x）的最大值為3，求k的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積，化簡表達式，代入x=

7π

12

，求

a

•

b

的值，直接求出|

a

+

b

|的表達式，代入x=

7π

12

求出值即可．
（2）若k=1，當x為何值時，化簡函數f（x）的表達式，利用二次函數直接求出函數的最小值．
（3）借助（2）推出函數的表達式，通過換元法對函數的對稱軸是否在區間討論，通過f（x）的最大值為3，直接求出k的值．

解答：解：（1）由題意可知

a

•

b

=(cos(x-

π

4

)，sin(x-

π

4

))• (cos(x+

π

4

)，-sin(x+

π

4

))
=cos(x-

π

4

)•cos(x+

π

4

)- sin(x-

π

4

)•sin(x+

π

4

)
=cos2x，∵x=

7π

12

，∴

a

•

b

=cos2x=-

3

2

．
|

a

+

b

|=|(cos(x-

π

4

)+cos(x+

π

4

)，- sin(x-

π

4

)+sin(x+

π

4

))|
=

(cos(x- π 4 )+cos(x+ π 4 )2+(-sin(x- π 4 )+sin(x+ π 4 ))2

=

2+2cos2x

=

2- 3

=

6 - 2

2

．
（2）k=1，f(x)=

a

•

b

-k|

a

+

b

|=

a

•

b

-|

a

+

b

|
=2cos²x-2|cosx|-1
當x=

π

3

或x=

2π

3

時，函數f（x）有最小值f（x）_min=-

3

2

；
（3）由（2）可知f（x）=2cos²x-2k|cosx|-1
設|cosx|=t，由x∈[0，π]
則：f（x）=g（t）=2t²-2kt-1，t∈[0，1]
當：

k

2

≤

1

2

?k≤1時，f（x）_max=g（1）=2-2k-1=3?k=-1

k≤1 k=-1

?k=-1，
當：

k

2

＞

1

2

?k＞1時，f（x）_max=g（0）=-1≠3，
綜上之：k=-1．

點評：本題是中檔題，考查三角函數的化簡，向量的數量積與向量的模的應用，考查換元法以及二次函數最值的應用，難度較大．