Question

已知向量

a

=(cos(ωx-

π

6

)，  sin(ωx-

π

4

))，  

b

=(sin(

2

3

π-ωx)， sin(ωx+

π

4

))（其中ω＞0）．若函數f(x)=2

a

•

b

-1的圖象相鄰對稱軸間距離為

π

2

．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-

π

12

，  

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：利用平面向量的數量積運算，由兩向量的坐標化簡函數解析式，利用誘導公式變形后，再根據二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，最后利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，
（Ⅰ）由函數的周期為π，利用化簡后的解析式找出x的系數為2ω，代入周期公式列出ω的方程，求出方程的解即可得到ω的值；
（Ⅱ）由x的范圍，求出這個角的范圍，根據自變量的范圍，求出正弦函數的值域，即為函數的值域．

解答：解：f(x)=2cos(wx-

π

6

)sin(

2

3

π-wx)+2sin(wx-

π

4

)•sin(wx+

π

4

)-1
=2cos(wx-

π

6

)cos(wx-

π

6

)+2sin(wx-

π

4

)cos(wx-

π

4

)-1
=2×

1+cos(2wx- π 3 )

2

+sin(2wx-

π

2

)-1=cos(2wx-

π

3

)-cos2wx
=

3

2

sin2wx-

1

2

cos2wx=sin(2wx-

π

6

)．（6分）
（Ⅰ）由條件知f（x）的最小正周期為π．（8分）  
即

2π

2w

=π，∴w=1．（9分）
（Ⅱ）f(x)=sin(2x-

π

6

)，x∈[-

π

12

，

π

2

]．
則2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5

6

π]，
∴sin(2x-

π

6

)∈[-

3

2

，1]．
即函數f（x）在[-

π

12

，

π

2

]上的值域為[-

3

2

，1]．（12分）

點評：此題考查了平面向量的數量積運算，誘導公式，二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，以及正弦函數的定義域與值域，靈活運用三角函數的恒等變換把函數解析式化為一個角的正弦函數是解本題的關鍵．