Question

已知向量

a

=(-cosα，1+sinα)，

b

=(2sin2

α

2

，sinα)．
（Ⅰ）若|

a

+

b

|=

3

，求sin2α的值；
（Ⅱ）設

c

=(cosα，2)，求(

a

+

c

)•

b

的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由已知中向量

a

=(-cosα，1+sinα)，

b

=(2sin2

α

2

，sinα)，我們易求出

a

+

b

，由|

a

+

b

|=

3

，我們結合倍角公式，我們易求出sin2α的值；
（II）又由

c

=(cosα，2)，代入(

a

+

c

)•

b

我們可以求出(

a

+

c

)•

b

的表達式，然后根據三角函數的性質，我們易得(

a

+

c

)•

b

的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵

a

+

b

=（1-2cosa，1+2sina）
∴|

a

+

b

|=

6+4(sina-cosa)

（3分）
∴sina-cosa=-

3

4

∴sin2a=

7

16

（5分）
（Ⅱ）

a

+

c

=（0，sina+3），
∴（

a

+

c

）=

b

=sin²a+3sina=（sina+

3

2

）²-

9

4

（8分）
又sina∈[-1，1]，
∴(

a

+

c

)-

b

的取值范圍為[-2，4]（10分）

點評：本題考查的知識點是平面向量的數量積的運算，平面向量的坐標運算，三角函數的倍角公式，三角函數的性質，其中利用平面向量的模的計算公式，及平面向量的數量積運算公式，將已知條件進行轉化是解答本題的關鍵．