Question

（本小題滿分12分）如圖，在正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F為棱AD、AB的中點．

（1）求證：EF ∥平面CB₁D₁；
（2）求證：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．

Answer 1

（1）見解析；（2）見解析。

解析試題分析：（1）連結BD
在正方體中，對角線.
又 E、F為棱AD、AB的中點，
. .
又B₁D₁平面，平面，
  EF∥平面CB₁D₁.
（2） 在正方體中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，而B₁D₁平面A₁B₁C₁D₁，
 AA₁⊥B₁D₁.
又在正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，
 B₁D₁⊥平面CAA₁C₁.   又 B₁D₁平面CB₁D₁，
平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．
考點：線面垂直的判定定理；面面垂直的判定定理。
點評：本題第一問的關鍵是證得B₁D₁∥EF；第二問的關鍵是熟練掌握空間中線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的相互轉化。