Question

建造一條防洪堤，其斷面為等腰梯形，腰與底邊成角為（如圖），考慮到防洪堤堅固性及石塊用料等因素，設計其斷面面積為平方米，為了使堤的上面與兩側面的水泥用料最省，則斷面的外周長（梯形的上底線段與兩腰長的和）要最小．

（１）求外周長的最小值，并求外周長最小時防洪堤高h為多少米？
（２）如防洪堤的高限制在的范圍內，外周長最小為多少米？

Answer 1

（1）外周長的最小值為米，此時堤高為米．
(2)(米)．（當時取得最小值）

試題分析：（1），AD＝BC+2×=BC+， ，．
設外周長為，則，
   
當，即時等號成立．外周長的最小值為米，此時堤高為米．
(2)設，則
,是的增函數，
(米)．（當時取得最小值）
點評：中檔題，利用圖象特征，確定得到周長的表達式，在進一步求函數最值過程中，可以應用導數，也可以運用均值定理，應用均值定理時，要注意“一正、二定、三相等”缺一不可。