Question

若等式sinx+siny=sin（x+y）成立，則必有（　　）

• A、x∈R，y∈R
• B、x=y=nπ，（n∈Z）
• C、x=-y
• D、x，y，x+y中，至少有一個為2nπ（n∈Z）

Answer 1

分析：先利用兩角和公式對sin（y+x）展開，整理求得siny（1-cosx）+sinx（1-cosy）=0，進而可判斷x，y，x+y中，至少有一個為2nπ（n∈Z）．

解答：解：解法一：根據已知：sin（y+x）=sinycosx+cosysinx=siny+sinx
化簡得：siny（1-cosx）+sinx（1-cosy）=0
即2sin

y

2

cos

y

2

×2sin 2

x

2

+2sin

x

2

cos

x

2

×2sin 2

y

2

=0
即4sin

x

2

sin

y

2

×（cos

y

2

×sin

x

2

+cos

x

2

×sin

y

2

）=0
即4sin

x

2

sin

y

2

sin

x+y

2

=0
上式成立，所以必有

x

2

，

y

2

，

x+y

2

中至少有一個為nπ（n∈Z）
即x，y，x+y中，至少有一個為2nπ（n∈Z）
故選D
解法二：排除法：ABC很容易找到反例

點評：本題主要考查了三角函數中的恒等變換應用．考查了學生演繹推理和創造性能力．