Question

已知函數f（x）=ax+bsinx，當x=

π

3

時，取得極小值

π

3

-

3

．
（1）求a，b的值；
（2）對任意x1，x2∈[-

π

3

，

π

3

]，不等式f（x₁）-f（x₂）≤m恒成立，試求實數m的取值范圍；
（3）設直線l：y=g（x），曲線S：y=F（x），若直線l與曲線S同時滿足下列兩個條件：①直線l與曲線S相切且至少有兩個切點；②對任意x∈R都有g（x）≥F（x），則稱直線l與曲線S的“上夾線”．觀察下圖：

根據上圖，試推測曲線S：y=mx-nsinx（n＞0）的“上夾線”的方程，并作適當的說明．

Answer 1

分析：（1）求導數f′（x），由已知可得f′（

π

3

）=0，f（

π

3

）=

π

3

-

3

，可得方程組，解出a，b后注意檢驗；
（2）對任意x1，x2∈[-

π

3

，

π

3

]，不等式f（x₁）-f（x₂）≤m恒成立，等價于f（x）_max-f（x）_min≤m，利用導數即可求得函數f（x）在[-

π

3

，

π

3

]上的最大值、最小值；
（3）根據圖象可猜測“上夾線”方程為：y=mx+n，根據“上夾線”的定義進行說明即可；

解答：解：（1）∵f（x）=ax+bsinx，∴f′（x）=a+bcosx，
而由已知得：

a+ 1 2 b=0 π 3 a+ 3 2 b= π 3 - 3

，解得a=1，b=-2，
此時f（x）=x-2sinx，∴f′（x）=1-2cosx，
當x∈（0，

π

3

）時，f′（x）＜0，當∈（

π

3

，

π

2

）時，f′（x）＞0，
∴當x=

π

3

時，f（x）取得極小值

π

3

-

3

，即a=1，b=-2符合題意；
（2）對任意x1，x2∈[-

π

3

，

π

3

]，不等式f（x₁）-f（x₂）≤m恒成立，等價于f（x）_max-f（x）_min≤m，
由（1）知f（x）=x-2sinx，f′（x）=1-2cosx，
當x∈[-

π

3

，

π

3

]時，f′（x）≤0，所以f（x）在[-

π

3

，

π

3

]上遞減，
f(x)min=f(

π

3

)=

π

3

-

3

，f(x)max=f(-

π

3

)=-

π

3

+

3

，
f（x）_max-f（x）_min=2

3

-

2π

3

，
所以m≥2

3

-

2π

3

；
（3）根據圖象猜測“上夾線”方程為：y=mx+n，說明如下：
由y′（x）=m-ncosx=m，得cosx=0，
當x=-

π

2

時，cosx=0，此時y₁=mx+n=-

mπ

2

+n，y₂=mx-nsinx=-

mπ

2

+n，
∴y₁=y₂，
∴（-

π

2

，-

mπ

2

+n）是直線l與曲線S的切點；
當x=

3π

2

時，cosx=0，此時y₁=mx+n=

3mπ

2

+n，y₂=mx-nsinx=

3mπ

2

+n，
∴y₁=y₂，
∴（

3π

2

，

3mπ

2

+n）也是直線l與曲線S的切點；
∴直線l與曲線S相切且至少有兩個切點，
對任意x∈R，（mx+n）-（mx-nsinx）=n（1+sinx）≥0，mx+n≥mx-nsinx，
因此直線l：y=mx+n為曲線S：y=mx-nsinx“上夾線”

點評：本題考查利用導數研究曲線上某點切線方程，（1）問知，求得a=1，b=-2后，需分析驗證“x=

π

3

時，f（x）取得極小值”，學生易忘記這一步；分析（-

π

2

，-

mπ

2

+n）與（

3π

2

，

3m

2

+n）是直線l與曲線S的切點，即滿足①是難點，考查綜合分析與推理的能力，屬于難題．