Question

已知點N（1，2），過點N的直線交雙曲線x²-=1于A、B兩點，且=（+）.
（1）求直線AB的方程；
（2）若過N的直線交雙曲線于C、D兩點，且·=0，那么A、B、C、D四點是否共圓？為什么？

Answer 1

（1）直線AB的方程為y=x+1（2）A、B、C、D四點共圓

（1）由題意知直線AB的斜率存在.
設直線AB：y=k（x-1）+2，代入x²-=1
得(2-k²)x²-2k(2-k)x-(2-k)²-2="0.                                   " (*)
令A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),則x₁、x₂是方程（*）的兩根，
∴2-k²≠0且x₁+x₂=.
∵=（+），∴N是AB的中點，∴=1,
∴k（2-k）=-k²+2,k=1,
∴直線AB的方程為y=x+1.
（2）將k=1代入方程（*）得x²-2x-3=0,
解得x=-1或x=3,
∴不妨設A（-1，0），B（3，4）.
∵·=0，∴CD垂直平分AB，
∴CD所在直線方程為y=-(x-1)+2,
即y=3-x,代入雙曲線方程整理得x²+6x-11=0,
令C（x₃,y₃）,D(x₄,y₄)及CD中點M（x₀,y₀）
則x₃+x₄=-6,x₃·x₄=-11,
∴x₀==-3，y₀=6，即M(-3,6).
|CD|=|x₃-x₄|==4；
|MC|=|MD|=|CD|=2，
|MA|=|MB|=2，
即A、B、C、D到M距離相等，∴A、B、C、D四點共圓.