Question

函數f( x )=2x-

a

x

的定義域為（0，1]（a為實數）．
（Ⅰ）當a=-1時，求函數y=f（x）的值域；
（Ⅱ）若函數y=f（x）在定義域上是減函數，求a的取值范圍；
（Ⅲ）求函數y=f（x）在x∈（0，1]上的最大值及最小值，并求出函數取最值時x的值．

Answer 1

分析：（I）將a的值代入函數解析式，利用基本不等式求出函數的值域．
（II）求出導函數，令導函數大于等于0在定義域上恒成立，分離出a，構造函數，通過求函數的最小值，求出a的范圍．
（III）通過對a的討論，判斷出函數在（0，1）上的單調性，求出函數的最值．

解答：解：（Ⅰ）顯然函數y=f（x）的值域為[ 2

2

， +∞ )；
（Ⅱ）∵f/(x)=2+

a

x2

＜0?a＜-2x2在定義域上恒成立
而-2x²∈（-2，0）
∴a≤-2
（II）當a≥0時，函數y=f（x）在（0.1]上單調增，無最小值，
當x=1時取得最大值2-a；
由（2）得當a≤-2時，函數y=f（x）在（0.1]上單調減，無最大值，
當x=1時取得最小值2-a；
當-2＜a＜0時，函數y=f（x）在( 0. 

-2a

2

 ]上單調減，在[

-2a

2

，1]上單調增，無最大值，
當x=

-2a

2

時取得最小值2

-2a

．

點評：求函數的單調性常借助導數，當導函數大于0對應的區間是函數的單調遞增區間；當導函數小于0對應的區間是函數的單調遞減區間．求含參數的函數的性質問題時，一般要對參數討論．