Question

已知向量，在函數的圖象上，對稱中心到對稱軸的最小距離為，且當時f（x）的最小值為．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調遞增區間；
（3）若對任意x₁，x₂∈[0，]都有|f（x₁）-f（x₂）|＜m，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）化簡函數的解析式，根據它的周期等于，求出ω的值，再根據當時f（x）的最小值為，求出t的值，即可得到f（x）的解析式．
（2）令，解出x的范圍，即可得到單調遞增區間．
（3）當時，求得f（x）的最大值為 ，最小值為，可得|f（x₁）-f（x₂）|的最大值為3，由此得到實數m的取值范圍．
解答：解：（1）∵，
∴ 
===，
由題意可得，∴ω=1． 
∵，∴．
 又f（x）的最小值為=×（）++t，
∴，
故 ．
（2）令，可得，
∴，
即單調遞增區間為：．
（3）當時，f（x）的最大值為  ×（）++=，最小值為，
∴|f（x₁）-f（x₂）|的最大值為=3．
∵對任意x₁，x₂∈[0，]都有|f（x₁）-f（x₂）|＜m，
∴m＞3，即實數m的取值范圍為（3，+∞）．
點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，兩個向量的數量積的定義，正弦函數的定義域和值域、周期性及單調性的應用，屬于中檔題．