Question

已知函數(shù)f（x）=

a

a2-1

(ax-a-x)，其中a＞0，a≠1
（1）寫出f（x）的奇偶性與單調(diào)性（不要求證明）；
（2）若函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋?1，1），求滿足不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0的實(shí)數(shù)m的取值集合；
（3）當(dāng)x∈（-∞，2）時(shí)，f（x）-4的值恒為負(fù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且滿足f（-x）=-f（x），可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．分當(dāng)a＞1和當(dāng)0＜a＜1兩種情況，分別根據(jù)

a

a2-1

的符號，及函數(shù)a^x-a^-x的單調(diào)性，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（2）由題意可得 f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），故有

-1＜1-m＜1 -1＜1-m2＜1 1-m＜m2-1

，由此解得m的范圍．
（3）要使f（x）-4的值恒為負(fù)，只要f（2）-4≤0，即

a2+1

a

≤4，由此求得a的范圍．

解答：解：（1）由于函數(shù)f（x）=

a

a2-1

(ax-a-x)，其中a＞0，a≠1，它的定義域?yàn)镽，
再根據(jù)f（-x）=

a

a2-1

•（a^-x-a^x）=-

a

a2-1

(ax-a-x)=-f（x），
故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
當(dāng)a＞1時(shí)，

a

a2-1

＞0，且函數(shù)a^x-a^-x為增函數(shù)，故此時(shí)函數(shù)f（x）為增函數(shù)．
當(dāng) 0＜a＜1時(shí)，

a

a2-1

＞0，且函數(shù)a^x-a^-x為減函數(shù)，故此時(shí)函數(shù)f（x）為增函數(shù)．
（2）由于函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋?1，1），故由不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0，
可得 f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），
∴

-1＜1-m＜1 -1＜1-m2＜1 1-m＜m2-1

，解得 1＜m＜

2

．
（3）由于函數(shù)f（x）在（-∞，2）上單調(diào)遞增，要使f（x）-4的值恒為負(fù)，
只要f（2）-4≤0，即

a

a2-1

（a²-a^-2）-4≤0，即

a2+1

a

≤4．
解得 2-

3

≤a≤2+

3

，且a≠1，即a的范圍[2-

3

，1）、（1，2+

3

]．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，屬于基礎(chǔ)題．