Question

【題目】將隨機地填入圖正方形ABCD的九個格子中，每格填一數，則其每列三數自上而下、每行三數自左至右順次成等差數列的概率P=____________.

Answer 1

【答案】

【解析】

設三行填數的和依次為.則也成等差；而 ，故.

設第二行三數依次為a、b、c(如圖).

由a、b、c成等差數列,有a+b+c=15,得b=5.

于是，a+c=10.

{a,c}的取值只有{1,9}、{2,8}、{3,7}、{4,6}四種情形.

但a、c作為所在列的等差中項，不能取1和9.據對稱性，1和9也不能在中間列，故只能在正方形的角方格上，且既不同行，也不同列(否則中項為5)，即1和9只能在正方形的對角方格上.

同理，{3,7}也不能被{a,c}取到.故3、7必在正方形的另一對角方格上.

于是，填法只有圖的模式：它的各種情形，可看成將表格固定，然后將字母A放置于四角之一，再使正方形ABCD成順時針或逆時針方向，共得8種情形(也可使正方形ABCD位置固定，而將數表旋轉和翻折).

所以，.