Question

【題目】已知點是拋物線的焦點，若點在拋物線上，且

求拋物線的方程；

動直線與拋物線相交于兩點，問：在軸上是否存在定點其中，使得向量與向量共線其中為坐標原點？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

求得拋物線的焦點和準線方程，運用拋物線的定義可得的坐標，代入拋物線方程，解得，進而得到拋物線的方程；在軸上假設存在定點其中，使得與向量共線，可得軸平分，設，，聯立和，根據恒成立，運用韋達定理和直線的斜率公式，化簡整理可得的方程，求得，可得結論．

拋物線C：的焦點為，

準線方程為，

即有，即，

則，解得，

則拋物線的方程為；

在x軸上假設存在定點其中，

使得與向量共線，

由，均為單位向量，且它們的和向量與共線，

可得x軸平分，

設，，

聯立和，

得，

恒成立．

，

設直線DA、DB的斜率分別為，，

則由得，

，

，

聯立，得，

故存在滿足題意，

綜上，在x軸上存在一點，使得x軸平分，

即與向量共線．