Question

設函數f（x）的定義域，值域分別為A，B，且A∩B是單元集，下列命題中：
①若A∩B={a}，則f（a）=a；
②若B不是單元集，則滿足f[f（x）]=f（x）的x值可能不存在；
③若f（x）具有奇偶性，則f（x）可能為偶函數；
④若f（x）不是常數函數，則f（x）不可能為周期函數．
正確命題的序號為

 

．

Answer 1

分析：用構造具體函數的方法來驗證每一個命題的真偽，對構造的函數的要求是其能滿足命題中的條件，然后以之來判斷命題成立與否．

解答：解：通過 對概念的理解，可以如下判斷這四個命題的真假．
①a∈A，即f（a）有定義；a∈B，即存在b∈A使得f（b）=a．這里并不要求f（a）=a；
比如，A={0，1}，f（x）=x+1；①不對；
②構造一個一一對應的函數如：f（x）=x+1，A={0，1}，B={1，2}，
要f（f（x））有意義，只有x=0，f（f（0））=f（1）=2≠f（0）；因此②成立
③說可能存在，具體找到一個就行，常數函數f（x）=1．③也成立
④要求A∩B是單元集，周期函數的定義域是無界的，但不一定要連續，構造一個周期函數去否定④，
如A=Z，若x是偶數，則，f（x）=0，若x為奇數，則f（x）=

1

2

，f（x）是周期為2的周期函數，B={0，

1

2

}，A∩B={0}；
故答案為②③．

點評：解本題的關鍵是對概念的理解，以及根據相關的概念構造一個符合題意且又能說明問題的具體函數，這種技巧與做選擇題時的特值法差不多，請答題者仔細品味本題中的數學技巧與數學思想．