Question

已知函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R），且函數f（x）的圖象關于原點
對稱，其圖象在x=3處的切線方程為8x-y-18=0
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在區間[m，n]，使得函數g（x）的定義域和值域均為[m，n]，且其解析式為f（x）的解析式？若存在，求出這樣一個區間[m，n]；若不存在，則說明理由．

Answer 1

解：（1）∵f（x）的圖象關于原點對稱，
∴f（-x）+f（x）=0恒成立，
即2bx²+2d=0，∴b=d=0
又f（x）的圖象在x=3處的切線方程為8x-y-18=0，
即y-6=8（x-3），
∴f'（3）=8，且f（3）=6．而f（x）=ax³+cx，
∴f'（x）=3ax²+c
∴．
故所求的解析式為．
（2）解
又f'（x）=x²-1，由f'（x）=0得x=±1，
且當時，f'（x）＞0；
當x∈（-1，1）時f'（x）＜0．
∴遞增；在[-1，1]上遞減
∴上的極大值和極小值分別為．
而．
故存在這樣的區間[m，n]，其中一個區間為．
分析：（1）根據題意，f（-x）+f（x）=0恒成立，利用比較系數法可得b=d=0，然后根據導數的幾何意義，得出f'（3）=8且f（3）=6，聯解方程組可得a、c的值，最終可得f（x）的解析式；
（2）用直線y=x與函數y=f（x）聯解，得出交點橫坐標為，根據題意得出[m，n]可能的區間為．然后利用導數來研究函數f（x）的單調性，得出其單調區間后，分別討論它在各區間上的值域，對照題意可得符合條件的區間為．
點評：本題考查了函數在某點取得極值的條件、利用導數求閉區間上函數的最值和導數的幾何意義等知識點，屬于中檔題．