Question

【題目】如圖，三棱柱中，側面為菱形，.

（1）求證：平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）根據菱形性質可知，結合可得，進而可證明，即，即可由線面垂直的判定定理證明平面；

（2）結合（1）可證明兩兩互相垂直.即以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長度，建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，并求得平面和平面的法向量，即可求得二面角的余弦值.

（1）證明：設，連接，如下圖所示：

∵側面為菱形，

∴，且為及的中點，

又，則為直角三角形，

，

又，

，即，

而為平面內的兩條相交直線，

平面.

(2)

平面，

平面，

，即，

從而兩兩互相垂直.

以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長度，建立如圖的空間直角坐標系

，

為等邊三角形，

，

，

，

設平面的法向量為，則，即，

∴可取，

設平面的法向量為，則.

同理可取

，

由圖示可知二面角為銳二面角，

∴二面角的余弦值為.