四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，CD∥AB，AB=4，CD=1，點M在PB上，且MB=3PM，PB與平面ABC成30°角．
（1）求證：CM∥面PAD；
（2）求證：面PAB⊥面PAD；
（3）求點C到平面PAD的距離．
分析：根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，C為坐標(biāo)原點O，
（1）要證CM∥面PAD，只需求出向量
與面PAD內(nèi)的向量
、
共面即可．
（ 2）過B作BE⊥PA，E為垂足．要證面PAB⊥面PAD，只需證明面PAB內(nèi)的向量
垂直面PAD內(nèi)的直線PA、DA即可；
（3）利用
在平面PAD的單位向量上的射影，求點C到平面PAD的距離．
解答：
解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，C為坐標(biāo)原點O，
（1）證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．
∵PC⊥平面ABCD，
∴∠PBC為PB與平面ABC所成的角，即∠PBC=30°．
∵|PC|=2，∴|BC|=2
，|PB|=4．
得D（1，0，0）、B（0，2
，0）、
A（4，2
，0）、P（0，0，2）．
∵|MB|=3|PM|，
∴|PM|=1，M（0，
，
），
=（0，
，
），
=（-1，0，2），
=（3，2
，0）．
設(shè)
=x
+y
（x、y∈R），
則（0，
，
）=x（-1，0，2）+y（3，2
，0）?x=
且y=
，
∴
=
+
．
∴
、
、
共面．又∵C∉平面PAD，故CM∥平面PAD．
（2）證明：過B作BE⊥PA，E為垂足．
∵|PB|=|AB|=4，∴E為PA的中點．
∴E（2，
，1），
=（2，-
，1）．
又∵
•
=（2，-
，1）•（3，2
，0）=0，
∴
⊥
，即BE⊥DA．
而BE⊥PA，∴BE⊥面PAD．
∵BE?面PAB，∴面PAB⊥面PAD．
（3）解：由BE⊥面PAD知，
平面PAD的單位向量n
0=
=
（2，-
，1）．
∴CD=（1，0，0）的點C到平面PAD的距離
d=|n
0•
|=|
（2，-
，1）•（1，0，0）|=
．
點評：本題主要考查空間直角坐標(biāo)系的概念、空間點和向量的坐標(biāo)表示以及用向量法證明平行關(guān)系，同時考查向量研究空間圖形的數(shù)學(xué)思想方法．突破點在于求出相關(guān)的向量所對應(yīng)的坐標(biāo)．
芝麻開花課程新體驗系列答案
已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分別是PD、PC、BC的中點．
（2012•上海）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點，已知AB=2，AD=2
如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD=90°，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，若PA=AB=BC=
如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，M為AB的中點．
如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，其中PA=PD=AD=2，∠BAD=60°，Q為AD的中點．