Question

已知函數．
（I）求函數F（x）的單調區間；
（II）若以函數y=F（x）（x∈（0，3]）的圖象上任意一點P（x，y）為切點的切線的斜率恒成立，求實數a的最小值；
（III）是否存在實數m，使得函數的圖象與函數y=f（1+x²）的圖象恰有四個不同的交點？若存在，求出實數m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求出其導函數，根據導函數的正負即可求出其單調區間；
（II）先把問題轉化為F'（x）=≤恒成立；再結合二次函數即可求出結論；
（III）先根據條件把問題轉化為m=ln（1+x²）-x²-有四個不同的根；求出其導函數，找到其極值點，根據極值即可得到結論．
解答：解：（I）∵．
∴F'（x）=-=，（x＞0）；
∵x＞0；
所以：F'（x）＞0⇒x＞a．
∴F（x）在（a，+∞）上遞增；
 F'（x）＜0⇒0＜x＜a，
 F（x）在（0，a）上遞減．
所以：函數F（x）的單調增區間為（a，+∞），單調減區間為（0，a）．
（II）因為：F'（x）= （0＜x≤3），
則k=F'（x）=≤恒成立；
即a≥-+x在（0，3]上恒成立，
當x=時，-+x取最大值，
∴a≥．
即a的最小值為．
（III）=x²+m-的圖象與函數y=f（1+x²）=ln（1+x²）的圖象恰有四個不同的交點，
即，x²+m-=ln（1+x²）有四個不同的根，亦即m=ln（1+x²）-x²-有四個不同的根；
令G（x）=ln（1+x²）-x²-；
則G'（x）=-x==；
當x變化時，G'（x），G（x）的變化情況如下表，

由表格知，G（x）的極小值G（0）=，G（x）的極大值G（1）=G（-1）=ln2＞0．
∴m∈（，ln2），y=G（x）與y=m恰有四個不同的交點，
即當m∈（，ln2）時，函數的圖象與函數y=f（1+x²）的圖象恰有四個不同的交點．
點評：本題主要考察了應用導數求函數的單調區間，極值，最值，以及恒成立問題的判斷．