Question

已知函數f（x）=e^|lnx|+a|x-1|（a為實數）
（I）若a=1，判斷函數f（x）在區間[1，+∞）上的單調性（不必證明）；
（II）若對于任意的x∈（0，1），總有f（x）的函數值不小于1成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）a=1時，f（x）=e^lnx+x-1=2x-1，故易知f（x）在區間[1，+∞）上是增函數；
（II）要使對于任意的x∈（0，1），f（x）的函數值不小于1成立，即使

1

x

-ax+a≥1（x∈（0，1））恒成立，利用分離參數法可求．

解答：解：（I）當x≥1時，f（x）=e^lnx+x-1=2x-1，∴f（x）在區間[1，+∞）上是增函數；
（II）當0＜x＜1時，由

1

x

-ax+a≥1得(1-x)a≥

x-1

x

∵x∈（0，1），∴1-x＞0，∴a≥-

1

x

在x∈（0，1）上恒成立而-

1

x

＜-1，
∴a≥-1，即a的取值范圍為[-1，+∞）

點評：此題考查學生單調性的判斷，考查函數的恒成立問題處理策略，是一道中檔題．