Question

已知函數f（x）=e^-x（cosx+sinx），將滿足f′（x）=0的所有正數x從小到大排成數列{x_n}．求證：數列{f（x_n）}為等比數列．

Answer 1

分析：先求導數，然后解出f′（x）=0的所有正數根，最后根據等比數列的定義進行證明即可．

解答：證明：f′（x）=-e^-x（cosx+sinx）+e^-x（-sinx+cosx）=-2e^-xsinx，
由f′（x）=0，即-2e^-xsinx=0，
解得x=nπ，n∈Z．從而x_n=nπ（n=1，2，3，…），
f（x_n）=（-1）ⁿe^-πn．
所以

f(xn+1)

f(xn)

=-e^-π．
所以數列{f（x_n）}是公比q=-e^-π的等比數列．

點評：本題考查了導數的運算，三角函數方程的求解，以及等比數列的證明，可以利用定義進行證明，屬于中檔題．