Question

已知函數f（x）=x（x-

1

2

）的定義域為（n，n+1）（n∈N^*），f（x）的函數值中所有整數的個數記為g（n）．
（1）求出g（3）的值；
（2）求g（n）的表達式；
（3）若對于任意的n∈N^*，不等式（C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ）l≥g（n）-25（其中C_nⁱ，i=1，2，3，…，n為組合數）都成立，求實數l的最小值．

Answer 1

分析：（1）f（x）的對稱軸是x=

1

4

，當n≥1時，f（x）在[n，n+1]上是單調遞增的，再把n=1，2，3，4，5分別代入即可得到g（3）的值；
（2）進而得到g（n）的表達式；
（3）先對原不等式進行整理，把所求問題轉化為求數列{an=

2n-25

2n

}的最大值問題；再通過作差求出數列的最大值即可求出結論．

解答：解：（1）當n≥1時，f（x）在[n，n+1]上是增函數，
n=1時，f（1）=

1

2

，f（2）=2×（2-

1

2

）=3；有整數1，2，故g（1）=2；
n=2時，f（3）=3×（3-

1

2

）=

15

2

，有整數4，5，6，7；故g（2）=4；
n=3時，f（4）=4×（4-

1

2

）=14，有整數8，9，10，11，12，13；故g（3）=6；
n=4時，f（5）=5×（5-

1

2

）=

45

2

，有整數15，16，17，18，19，10，21，22；故g（4）=8；
n=5時，f（6）=6×（6-

1

2

）=33，有整數23，24，25，26，27，28，29，30，31，32；故g（5）=10；
（2）∴g（n）=2n．
（3）∴（C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ）l≥g（n）-25⇒2ⁿ•L≥2n-25⇒L≥

2n-25

2n

令an=

2n-25

2n

，
則a_n+1-a_n=

2(n+1)-25

2n+1

-

2n-25

2n

=

27-2n

2n+1

；
n≤13時，a_n+1-a_n＞0，{a_n}遞增；
n≥14時，a_n+1-a_n＜0，{a_n}遞減；
n=13時，a_n有最大值，a₁₃=

2×13-25

213

=

1

213

．
∴L的最小值為

1

213

．

點評：本題主要考查二項式定理以及歸納法的應用．本題的易錯點在于沒有看清題中的區間是開區間，從而把問題復雜話．