Question

關于曲線C：

x

+

y

=1，有以下幾個命題：
①方程中x，y的取值范圍都是[0，1]；
②曲線C關于直線y=x對稱；
③曲線C與坐標軸圍成的面積小于

1

2

；
④曲線C的長度小于

2

；
⑤曲線C上的點到原點的距離的最小值為

2

4

；
其中所有不正確命題的序號是

④

．

Answer 1

分析：分別根據曲線的方程分別進行判斷即可．

解答：解：①由

x

+

y

=1，得

y

=1-

x

≥0，解得0≤x≤1，同理得

x

=1-

y

≥0，即0≤y≤1，所以①正確．
②交換x，y的位置后曲線方程不變，所以曲線C關于直線y=x對稱，所以正確．
③當0≤x≤1，0≤y≤1，時

x

≥x，

y

≥y，等號不能同時取，所以1=

x

+

y

＞x+y，則直線x+y=1與坐標軸圍成的面積為

1

2

，所以曲線C與坐標軸圍成的面積小于

1

2

；正確．
④由③知，直線線x+y=1在第一象限內的長度為

2

，所以曲線C的長度小于

2

，所以正確．
⑤設曲線上點的坐標為A（x，y），則|OA|=d=

x2+y2

≥

2xy

，又1=

x

+

y

≥2

x ? y

=2

xy

，
所以

xy

≤

1

4

，即

2xy

≤

2

4

，所以曲線C上的點到原點的距離的最小值不是

2

4

，所以④錯誤，
故答案為：④

點評：本題考查曲線的圖象和性質，利用已有的知識研究函數的性質是解決本題的關鍵，考查學生分析問題的能力，綜合性較強，難度較大．