Question

如圖，在棱長為a的正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，G為△BC₁D的重心，

(1)求證：A₁、G、C三點共線；
(2)求證：A₁C⊥平面BC₁D；
(3)求點C到平面BC₁D的距離．

Answer 1

（1）見解析   （2）見解析   （3）a.

解：(1)證明：＝＋＋＝＋＋，
可以證明：＝(＋＋)＝，∴∥，即A₁、G、C三點共線．
(2)證明：設＝a，＝b，＝c，
則|a|＝|b|＝|c|＝a，
且a·b＝b·c＝c·a＝0，
∵＝a＋b＋c，＝c－a，
∴·＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c²－a²＝0，
∴⊥，即CA₁⊥BC₁，
同理可證：CA₁⊥BD，
因此A₁C⊥平面BC₁D.
(3)∵＝a＋b＋c，
∴²＝a²＋b²＋c²＝3a²，
即||＝a，因此||＝a.
即C到平面BC₁D的距離為a.