Question

）如圖，在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=AA₁，點D是A₁B₁的中點，點F是AB的中點，點E在A₁C₁上，且DE⊥AE。
（1）證明B₁F//平面ADE；
（2）證明平面ABC₁⊥平面C₁DF；
（3）求直線AD和平面ABC₁所成角的正弦值。

Answer 1

（1）略 （2）略 （3）

(I)關鍵證明：B₁F//AD.
(2)證明：AB平面CDF.
(3) 過點D作DH垂直CF于點H，則DH平面ABC.連接AH，則HAD是AD和平面ABC所成的角,是解題的關鍵。
（1）證明: 如圖所示，在正三棱柱中, D是的中點，點F是AB的中點，所以,且，所以四邊形是平行四邊形，所以, AD在平面ADE內,不在平面ADE內, 故.              （4分）
（2）證明:如圖所示，F是AB的中點，連接DF、DC、CF，由正三棱柱ABC- ABC的性質及D是AB的中點知，      ,又CDDF=D，所以AB平面CDF，而AB∥AB，所以AB平面CDF，又AB平面ABC，故平面AB C平面CDF。
（3）解: 過點D作DH垂直CF于點H，則DH平面ABC.連接AH，則HAD是AD和平面ABC所成的角。由已知AB=A A，不妨設
A A=，則AB=2，DF=，D C=，CF=，AD==，DH==—，所以 sinHAD==。即直線AD和平面AB C所成角的正弦值為。