Question

已知直三棱柱中, , ， 是和的交點, 若.
（1）求的長； （2）求點到平面的距離；
（3）求二面角的平面角的正弦值的大小.

Answer 1

(1) AC="3" (2) CD=    (3)正弦大小為 

本試題主要考查了距離和角的求解運用。第一問中，利用ACCA為正方形, AC=3
第二問中，利用面BBCC內作CDBC, 則CD就是點C平面ABC的距離CD=，第三問中，利用三垂線定理作二面角的平面角，然后利用直角三角形求解得到其正弦值為
解法一: (1)連AC交AC于E, 易證ACCA為正方形, AC="3" ……………  5分
(2)在面BBCC內作CDBC, 則CD就是點C平面ABC的距離CD= … 8分
(3) 易得AC面ACB, 過E作EHAB于H, 連HC, 則HCAB
CHE為二面角C－AB－C的平面角. ………  9分
sinCHE=二面角C－AB－C的平面角的正弦大小為 ……… 12分
解法二: (1)分別以直線CB、CC、CA為x、y為軸建立空間直角坐標系, 設|CA|="h," 則C(0, 0, 0), B(4, 0, 0), B(4, －3, 0), C(0, －3, 0), A(0, 0, h), A(0, －3, h), G(2, －, －) ………………………  3分
="(2," －, －), ="(0," －3, －h)  ……… 4分
·=0, h=3
(2)設平面ABC得法向量="(a," b, c),則可求得="(3," 4, 0) (令a=3)
點A到平面ABC的距離為H=||=……… 8分
(3) 設平面ABC的法向量為="(x," y, z),則可求得="(0," 1, 1) (令z=1)
二面角C－AB－C的大小滿足cos== ………  11分
二面角C－AB－C的平面角的正弦大小為