Question

下列說法中，正確的有

 

．
①若點(diǎn)P（x₀，y₀）是拋物線y²=2px上一點(diǎn)，則該點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離是|PF|=x₀+

p

2

；
②設(shè)F₁、F₂為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P（x₀，y₀）為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，∠F₁PF₂=θ，則△PF₁F₂的面積為b²tan

θ

2

；
③設(shè)定圓O上有一動(dòng)點(diǎn)A，圓O內(nèi)一定點(diǎn)M，AM的垂直平分線與半徑OA的交點(diǎn)為點(diǎn)P，則P的軌跡為一橢圓；
④設(shè)拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p，過拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則

1

|AF|

、

1

p

、

1

|BF|

成等差數(shù)列．

Answer 1

分析：①根據(jù)拋物線的定義進(jìn)行判斷．②根據(jù)雙曲線的定義和性質(zhì)以及三角形的面積公式進(jìn)行判斷．③根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷．④根據(jù)拋物線的定義以及等差數(shù)列的定義進(jìn)行判斷．

解答：①拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-

p

2

，根據(jù)拋物線的定義可知，|PF|等于P到準(zhǔn)線的距離即|PF|=x₀+

p

2

，∴①正確．
②設(shè)|PF₁|=x，|PF₂|=y，（不妨設(shè)x＞y），則x-y=2a，由余弦定理得|F₁F₂|²=x²+y²-2xycosθ，
即4c²=（x-y）²+2xy-2xycosθ，
∴4c²=4a²+xy（2-2cosθ），即xy=

4b2

2-2cosθ

，
∴△PF₁F₂的面積為

1

2

xysinθ=

1

2

×

4b2

2-2cosθ

×sinθ=b 2•

sinθ

1-cosθ

=b²tan

θ

2

，∴②正確．
③根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得|PM|=|PA|，∴|PO|+|PA|=|PO|+|PM|=|OA|＞|OM|，
即點(diǎn)P到點(diǎn)O和點(diǎn)M的距離之和等于圓的半徑|OA|，且|OA|＞|OM|，
根據(jù)橢圓的定義可得點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)O和點(diǎn)M為焦點(diǎn)的橢圓，∴③正確．
④設(shè)拋物線方程為y²=2px，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|AF|=x1+

p

2

，|BF|=x2+

p

2

，
設(shè)過F的直線斜率為k，若k不存在，則|AF|=|BF|=p，此時(shí)滿足

1

|AF|

、

1

p

、

1

|BF|

成等差數(shù)列．
若k存在，則直線AB的方程為y=k（x-

p

2

），代入拋物線方程y²=2px
得k2x2-p(k2+2)x+

k2p2

4

=0，
則x1x2=

p2

4

，x1+x2=

k2p+2p

k2

．
∴

1

|AF|

+

1

|BF|

=

2

2x1+p

+

2

2x2+p

=

4(x1+x2)+4p

(2x1+p)(2x2+p)

=

4×(x1+x2)+4p

4x1x2+2p(x1+x2)+p2

，
=

4?( k2+2 k2 )p+4p

4? p2 4 +2p?( k2+2 k2 )+p2

=

8k2+8

(4k2+4)p2

=

2

p

，
即

1

|AF|

+

1

|BF|

=

2

p

，∴

1

|AF|

、

1

p

、

1

|BF|

成等差數(shù)列．正確，∴④正確．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評：本題主要考查了圓錐曲線的定義和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．