Question

若函數f（x）的定義域為R，且滿足y=f（x+1）為奇函數，y=f（x-1）為偶函數，則下列說法中一定正確的有

（1）（3）

．
（1）f（x）的圖象關于直線x=-1對稱．
（2）f（x）的周期為4．
（3）f（2013）=0．
（4）f（x）在[-2，2]上只有一個零點．

Answer 1

分析：（1）將y=f（x-1）的圖象向左平移一個單位即得y=f（x）的圖象，根據y=f（x-1）為偶函數可得f（x）的對稱軸；
（2）將y=f（x+1）的圖象向右平移一個單位即得y=f（x）的圖象關于點（1，0）對稱則f（-x）=-f（x+2），根據（1）可得f（-x）=f（x-2），從而可求出函數的周期；
（3）根據函數的周期可得f（2013）=f（5），結合（1）（2）可求出f（5）=-f（1），f（1）=-f（1）即f（1）=0，從而得到結論；
（4）若當f（0）=0時，則f（2）=0，f（-2）=0故f（x）在[-2，2]上不止一個零點，從而判斷（4）的真假．

解答：解：（1）∵y=f（x-1）為偶函數，即對稱軸為x=0，將y=f（x-1）的圖象向左平移一個單位即得y=f（x）的圖象關于直線x=-1對稱，∴故（1）正確；
（2）y=f（x+1）為奇函數，即對稱中心為（0，0），將y=f（x+1）的圖象向右平移一個單位即得y=f（x）的圖象關于點（1，0）對稱，∴f（-x）=-f（x+2）①
∵y=f（x）的圖象關于直線x=-1對稱，∴f（-x）=f（x-2）②
由①②可得，f（x+2）=-f（x-2），將x代換為x+2，得f（x+4）=-f（x），再將x代換為x+4，得f（x+8）=-f（x+4）=f（x），
∴f（x）的周期為8，故（2）錯誤；
（3）根據函數的周期為8，∴f（2013）=f（5），∵f（x+4）=-f（x），∴f（5）=-f（1）
∵f（-x）=-f（x+2），所以f（1）=-f（1）即f（1）=0，∴f（2013）=0，故（3）正確；
（4）由（3）可知f（1）=f（-3）=f（5）=0，若當f（0）=0時，則f（2）=0，f（-2）=0故f（x）在[-2，2]上不止一個零點．故（4）不一定正確
故答案為：（1）（3）．

點評：本題主要考查了抽象函數的奇偶性、周期性以及求值，解題的關鍵是靈活的運用條件，同時考查了分析問題的能力和轉化的能力，屬于中檔題．