Question

某同學做了一個數字信號模擬傳送器，經過10個環節，把由數字0，1構成的數字信號由發生端傳到接受端．已知每一個環節會把1錯轉為0的概率為0.3，把0錯轉為1的概率為0.2，若發出的數字信號中共有10000個1，5000個0．問：
（1）從第1個環節轉出的信號中0，1各有多少個？
（2）最終接受端收到的信號中0，1個數各是多少？（精確到十位）
（3）該同學為了完善自己的儀器，決定在接受端前加一個修正器，把得到的1和0分別以一定的概率轉換為0和1，則概率分別等于多少時，才能在理論上保證最終接受到的0和1的個數與發出的信號同．

Answer 1

（1）從第1個環節轉出的信號中，0的個數為：
10000×0.3+5000×0.8=7000（個）
1的個數為：10000×0.7+5000×0.2=8000（個）
（2）數字錯轉的轉移矩陣為A=

0.7 0.2 0.3 0.8

，1和0的個數對應列矩陣

10000 5000

，
于是最終接受端收到的信號中1，0個數對應矩陣A¹⁰

10000 5000

，
矩陣A的特征多項式為：f(λ)=

.

λ-0.7 -0.2 -0.3 λ-0.8

.

=λ²-1.5λ+0.5=（λ-1）（λ-0.5）
令f（λ）=0，得到A的特征值為1或0.5，將1代入方程組

(λ-0.7)x-0.2y=0 -0.3x+(λ-0.8)y=0

解得3x-2y=0，不妨設x=2，于是得到矩陣A的屬于特征值1的一個特征向量為

2 3

．
同理，把λ=0.5代入上述方程組得x+y=0，不妨設x=1，可得矩陣A的屬于特征值0.5的一個特征向量為

1 -1

．
又設

10000 5000

=m

2 3

+n

1 -1

，于是

10000=2m+n 5000=3m-n

，求得

m=3000 n=4000

，
所以A¹⁰

10000 5000

=3000•1¹⁰

2 3

+4000•0.5¹⁰

1 -1

=

6000+4000•0.510 9000-4000•0.510

≈

6000 9000

于是，最終接受端收到的信號中0約有9000個，1約有6000個
（3）設修正器的轉移矩陣為B=

1-s t s 1-t

（0＜s＜1，0＜t＜1），則由題意有

1-s t s 1-t

•

6000 9000

=

10000 5000

于是得到6s-9t+4=0∵0＜s＜1，0＜t＜1
∴可取s=

1

2

，t=

7

9

也就是說1轉為0的概率為

1

2

，0轉為1的概率為

7

9

．
注：第（3）問答案不惟一，只要滿足方程6s-9t+4=0（0＜s＜1，0＜t＜1）的s，t均可．