Question

（1）已知tanα=-2，且α是第二象限的角，求sinα和cosα；
（2）已知0＜x＜

π

4

，sin(

π

4

-x)=

5

13

，求

cos2x

cos( π 4 +x)

的值．

Answer 1

分析：（1）由tanα的值和α是第二象限的角得到sinα和cosα的符號，然后利用同角三角函數間的平方關系分別求出sinα和cosα即可；
（2）由x的范圍推出

π

4

-x的范圍，然后根據sin（

π

4

-x）利用平方關系求出cos（

π

4

-x）的值，把原式的分子利用誘導公式和二倍角的正弦函數化簡得到關于sin（

π

4

-x）和cos（

π

4

-x）的式子，分母根據

π

4

+x=

π

2

-（

π

4

-x），利用誘導公式化簡，分子分母約分后，把
cos（

π

4

-x）的值代入即可求出原式的值．

解答：解：（1）因為tanα=-2，且α是第二象限的角，得到sinα＞0，cosα＜0，
所以根據平方關系sec²α=1+tan²α=1+（-2）²=5，開方得secα=

1

cosα

=-

5

，則cosα=-

5

5

；
然后sinα=

1-cos2α

=

1-( - 5 5 )2

=

2 5

5

；
（2）由0＜x＜

π

4

得到0＜

π

4

-x＜

π

4

，所以cos（

π

4

-x）=

1-sin2( π 4 -x)

=

12

13

，
則

cos2x

cos( π 4 +x)

=

sin( π 2 -2x)

cos[ π 2 -( π 4 -x)]

=

2sin( π 4 -x)cos( π 4 -x)

sin( π 4 -x)

=2cos（

π

4

-x）=

24

13

．

點評：此題考查學生靈活運用同角三角函數間的基本關系、二倍角的正弦函數公式及誘導公式，是一道中檔題．做題時學生應注意角度的范圍及角度的變換．