Question

（本小題滿分13分）已知數列.如果數列滿足，，其中，則稱為的“衍生數列”.
（Ⅰ）寫出數列的“衍生數列”；
（Ⅱ）若為偶數，且的“衍生數列”是，證明：；
（Ⅲ）若為奇數，且的“衍生數列”是，的“衍生數列”是，….依次將數
列，，，…的首項取出，構成數列.證明：是等差數列.

Answer 1

（Ⅰ）解：.                     ………………3分
（Ⅱ）證明： 因為 ，
，
，
……
，
由于為偶數，將上述個等式中的第這個式子都乘以，相加得
     即，.                                    ………………8分
（Ⅲ）證明：對于數列及其“衍生數列”，
因為 ，
，
，
……
，
由于為奇數，將上述個等式中的第這個式子都乘以，
相加得
     即.
設數列的“衍生數列”為，
因為 ，，
所以 ，  即成等差數列.      ………………12分
同理可證，也成等差數列.
從而是等差數列.            ………………13分

略