Question

已知函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且方程f（x）=x無實數根，下列命題：①f[f（x）]=x也一定沒有實數根；②若a＜0，則必存在實數x₀，使f[f（x）]＞x₀；③若a＞0，則不等式f[f（x）]＞x對一切實數x都成立；④若a+b+c=0，則不等式f[f（x）]＜x對一切實數x都成立；
以上說法中正確的是：

①③④

．（把你認為正確的命題的所有序號都填上）．

Answer 1

分析：由函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且方程f（x）=x無實數根，可知：
①f[f（x）]=x也一定沒有實數根；正確；
②若a＜0，函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象必在y=x的下方，必有f[f（x₀）]＜x₀，故②錯誤；
同理可分析③正確；
由a+b+c=0，可得f（1）=0，結合題意可知④正確．

解答：解：由函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且方程f（x）=x無實數根，可知：
①f[f（x）]=x也一定沒有實數根；正確；
②若a＜0，函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象必在y=x的下方，必有f[f（x₀）]＜x₀，故②錯誤；
③若a＞0，函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象必在y=x的上方，不等式f[f（x）]＞x對一切實數x都成立；正確；
④同理可分析③正確；
由a+b+c=0，可得f（1）=0，結合題意可知a＜0，函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象必在y=x的下方，④正確．
故答案為：①③④．

點評：本題考查二次函數的性質，難點在于對函數的圖象與性質的正確理解與應用，屬于難題．