Question

【題目】如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC，∠BCD=900

（1）求證：PC⊥BC

（2）求點A到平面PBC的距離

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

試題（1），要證明PC⊥BC，可以轉化為證明BC垂直于PC所在的平面，由PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，容易證明BC⊥平面PCD，從而得證；（2）連接AC，則三棱錐P-ACB與三棱錐A-PBC體積相等，而三棱錐P-ACB體積易求，三棱錐A-PBC的地面PBC的面積易求，其高即為點A到平面PBC的距離，設為h，則利用體積相等即求

試題解析：（1）①證明：∵PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，∴PD⊥BC．

由∠BCD＝90°知，BC⊥DC，

∵PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC，∴BC⊥PC．

②設點A到平面PBC的距離為h，

∵AB∥DC，∠BCD＝90°，∴∠ABC＝90°，

連接AC（圖略），∵AB＝2，BC＝1，∴S△ABC＝AB·BC＝1，

∵PD⊥平面ABCD，PD＝1，

∴VPABC＝S△ABC·PD＝，

∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DC，∵PD＝DC＝1，∴PC＝，

∵PC⊥BC，BC＝1，∴S△PBC＝PC·BC＝，

∵VAPBC＝VPABC，∴S△PBC·h＝，∴h＝，

∴點A到平面PBC的距離為．