Question

已知圓M：x²+y²-4x-8y+m=0與x軸相切．
（1）求m的值；
（2）求圓M在y軸上截得的弦長；
（3）若點P是直線3x+4y+8=0上的動點，過點P作直線PA、PB與圓M相切，A、B為切點．求四邊形PAMB面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）令y=0，利用△=0，即可求m的值；
（2）令x=0，求出圓M在y軸上的兩個交點的縱坐標之差的絕對值，即可求弦長；
（3）由題意知：S_PAMB=2S_△PAM=2×

1

2

MB×PB=4PB=4

PM2-16

，利用PM的最小值等于點M到直線3x+4y+8=0的距離，即可求得結論．

解答：解：（1）令y=0，有x²-4x+m=0，由題意知，△=16-4m=0，∴m=4
即m的值為4．…（4分）
（2）設⊙M與y軸交于E（0，y₁），F（0，y₂），令x=0有y²-8y+4=0①，
則y₁，y₂是①式的兩個根，則|y₁-y₂|=

64-16

=4

3

．
所以⊙M在y軸上截得的弦長為4

3

．…（9分）
（3）由題意知：S_PAMB=2S_△PAM=2×

1

2

MB×PB=4PB=4

PM2-16

，…（10分）
∵PM的最小值等于點M到直線3x+4y+8=0的距離…（11分）
∴PMmin=

6+16+8

5

=6…（12分）
∴(SPAMB)min=4

36-16

=8

5

，即四邊形PAMB的面積的最小值為8

5

．…（14分）

點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．