Question

（2012•武漢模擬）已知圓M：x²+y²-8x-6y=0，過圓M內定點P（1，2）作兩條相互垂直的弦AC和BD，則四邊形ABCD面積的最大值為（　　）

• A．20

  15

• B．16

  6

• C．5

  15

• D．40

Answer 1

分析：設圓心到AC、BD的距離分別為d₁、d₂，則 d₁²+d₂²=8，代入面積公式S=

1

2

×AC×BD，使用基本不等式求出四邊形ABCD的面積的最大值．

解答：解：圓M：x²+y²-8x-6y=0，
即：（x-4）²+（y-3）²=25
設圓心T（O）到AC、BD的距離分別為d₁、d₂，則d₁²+d₂²=TP²=OP²=8．．
四邊形ABCD的面積為：
S=

1

2

×|AB|×|CD|=

1

2

×2
=2

25 -d12

×

25-d 22

≤50-（d₁²+d₂²）=42．
當且僅當d₁²=d₂²時取等號，
故選 D．

點評：此題考查學生掌握垂徑定理及勾股定理的應用，靈活運用兩點間的距離公式化簡求值，是一道中檔題．學生做題時注意對角線垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半．